Τι είναι μαθηματικά; - Εισαγωγή - του Ηλία Χρ. Θάνου

Τι είναι μαθηματικά; Ένα αιώνιο ερώτημα. Φυσικά δεν είμαι εδώ για να το απαντήσω, αλλά μέσα από την αγάπη μου για τα μαθηματικά θα προσπαθήσω να εξηγήσω τι είναι αυτό που πολλοί μαθητές στο σχολείο αποκαλούν βάσανο ( ίσως το μεγαλύτερο από τα άλλα μαθήματα).....

<<Το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών>> είπε κάποτε ο Γαλιλαίος. Τι εννοούσε ο μεγάλος αυτός αστρονόμος, φυσικός, μαθηματικός και φιλόσοφος; Πολύ απλά, αυτό που μας λέει είναι ότι οτιδήποτε και να κοιτάξετε γύρω σας αυτό μπορεί να εκφραστεί στη γλώσσα των μαθηματικών. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα για να το καταλάβουμε καλύτερα. Υποθέστε ότι είστε ένας κτηνοτρόφος και έχετε κατσίκες. Παίρνετε μια κατσίκα και την δένετε με ένα σχοινί μήκους 1 μέτρου σε έναν πάσαλο και την αφήνετε να βοσκήσει. Η κατσίκα θα κινείται σ’ έναν κύκλο ακτίνας ενός μέτρου. Την επόμενη μέρα, πηγαίνετε να την λύσετε και βλέπετε ότι έφαγε όλο το χορτάρι μέσα στην ακτίνα κίνησής της και τώρα πλέον υπάρχει ένας κύκλος με ακτίνα όσο το σχοινί ( γιατί μέχρι το τέλος του έφτανε η κατσίκα). Άρα σας γεννάται η ερώτηση: “Πόσο χορτάρι έφαγε η κατσίκα, τελικά;”. Με πολύ απλή γεωμετρία και χρησιμοποιώντας βασικά μαθηματικά μπορούμε να δούμε ότι το κομμάτι που έφαγε η κατσίκα έχει εμβαδόν ίσο με π, δηλαδή περίπου 3,14 τετραγωνικά μέτρα. Άρα, τι κάναμε στο πιο πάνω πείραμα; Πήραμε τα στοιχεία, τα μεταφράσαμε στη γλώσσα των μαθηματικών και με τα κατάλληλα εργαλεία που αυτά μας δίνουν δώσαμε ένα αποτέλεσμα σ’ ένα πρόβλημά μας. Ένα άλλο παράδειγμα , πιο απλό. Θέλετε να στρώσετε χαλί σ’ ένα καθιστικό που έχει σχήμα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τι κάνετε; Με άλλα λόγια, θέλετε να μετρήσετε πόση επιφάνεια έχετε για να την καλύψετε με μια άλλη ίση επιφάνεια. Άρα, πρέπει να βρείτε το εμβαδόν της μιας για να βρείτε πόσο εμβαδόν από το χαλί χρειάζεστε. Επομένως, μετρώντας την μία πλευρά , την κάθετη σ’ αυτή και κάνοντας τον σχετικό πολλαπλασιασμό θα βρείτε ότι το εμβαδόν είναι ίσο με έναν συγκεκριμένο αριθμό και θα παραγγείλετε ένα χαλί που καλύπτει ίση επιφάνεια.

Μέσα απ’ αυτά τα παραδείγματα θέλω να δείξω ότι τα μαθηματικά γεννήθηκαν γι’ αυτό ακριβώς το σκοπό. Για να εξυπηρετούν τους ανθρώπους στην καθημερινότητα. Τα μαθηματικά γεννήθηκαν για να μπορούν να εφαρμοστούν στην καθημερινότητα. Βέβαια, θα πει κάποιος: <<και όλα αυτά τα αφηρημένα θεωρήματα που ακόμη από το σχολείο μαθαίναμε, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις και άλλα τόσα, που θα μου χρησιμεύσουν όταν πάω να αγοράσω ψωμί;>>.

Θα συμφωνήσω ότι εκ πρώτης όψεως όλα αυτά μοιάζουν μάταια… Όμως, τα μαθηματικά δεν είναι μόνο για τους μαθηματικούς. Η μαθηματική σκέψη αλλάζει τελείως την πραγματικότητα του ατόμου. Όταν ο άνθρωπος γίνει κοινωνός της ιδιαίτερης αυτής σκέψης αποκτά μια στάση ζωής διαφορετική από την συνηθισμένη. Καταρχάς, αποκτά κανόνες και μια μεθοδολογία για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος της ζωής του. Δεύτερον, μαθαίνει να μην εγκαταλείπει τα προβλήματα του. Ακόμη, μαθαίνει να κινείται με βάση τα δεδομένα του, να εκφράζει το πρόβλημά του στην γλώσσα που του είναι πιο εύχρηστη και να δίνει μια λύση κοντά στην πραγματικότητά του. Όλα τα αποτελέσματα που έχουμε ως τώρα στα μαθηματικά είναι αποτέλεσμα μιας μακρόχρονης ερευνητικής διαδικασίας που ως κύριους άξονες είχε την διαίσθηση, την εικασία , την φαντασία και την εξερεύνηση ,τα λάθη και τις εσφαλμένες και αληθινές υποθέσεις. Μπορεί τώρα να μας παρουσιάζονται με τέτοιο αποκρουστικό τρόπο αλλά δεν έχουν προκύψει καθόλου έτσι. Τα μαθηματικά βασίζονται στην φαντασία και στην εκτεταμένη σκέψη. Στην σκέψη έξω από το κουτί.

Γιατί όλα γύρω μας μπορούν να μεταφραστούν στην γλώσσα των μαθηματικών; Μήπως ο θεός είναι τελικά μαθηματικός; Μαθηματικοί και φιλόσοφοι εδώ και αιώνες προσπαθούν να απαντήσουν στο αιώνιο ερώτημα αν τελικά τα μαθηματικά τα εφευρίσκουμε ή τα ανακαλύπτουμε. Δηλαδή, είναι τα μαθηματικά ένα ανθρώπινο κατασκεύασμα ή είναι εκεί έξω και περιμένουν να τα ανακαλύψουμε; Ίσως και τα δύο να’ ναι αλήθεια, ίσως και τίποτα από τα δύο, ίσως αργότερα να έρθει κάποιος μαθηματικός ή φιλόσοφος με μια πιο ριζοσπαστική θεώρηση για την ύπαρξη των μαθηματικών. Πάντως ένα είναι σίγουρο. Όπως είπε ο G. H. Hardy στο βιβλίο του “ Η Απολογία ενός μαθηματικού”: <<Η ‘Αθανασία’ ίσως είναι μια χαζή λέξη, αλλά πιθανότατα ένας μαθηματικός έχει την καλύτερη ευκαιρία σε ό,τι και αυτή σημαίνει>>.1

Τέλος, ας πάρουμε τους 3 λόγους που ο Ehrhard Behrends αναφέρει στο βιβλίο του <<μαθηματικά πεντάλεπτα>> (εκδόσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ) ότι είναι οι αιτίες για κάποιον να ασχοληθεί σε βάθος με αυτό το αντικείμενο:

1) Τα μαθηματικά είναι χρήσιμα για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων της καθημερινότητας μας.

2)Ως διανοητική δραστηριότητα τα μαθηματικά μπορούν να είναι άκρως συναρπαστικά.

3)Ο κόσμος μας είναι φτιαγμένος με βάση τις μαθηματικές αρχές.

Τώρα ας τα δούμε λίγο πιο αναλυτικά:

1)Από την αγορά ψωμιού μέχρι τους δεκαδικούς αριθμούς στο σούπερ μάρκετ και από την ώρα μέχρι την αγορά σπιτιού, τα μαθηματικά είναι εκεί παρόντα. Από την ελάχιστη μορφή τους που είναι οι αριθμοί έως τις πράξεις. Ας πάρουμε για παράδειγμα έναν γεωργό που θέλει να περιφράξει το χωράφι του και αναρωτιέται πόσα μέτρα σύρμα να αγοράσει. Βρίσκοντας την περίμετρο του χωραφιού του με μια απλή πρόσθεση θα καταφέρει να λύσει το πρόβλημά του. Τα μαθηματικά βέβαια είναι παρόντα και σε άλλες επιστήμες. Από την Φυσική μέχρι την Βιολογία και από την Μηχανολογία έως την Πληροφορική όλες αυτές χρησιμοποιούν και λύνουν τα προβλήματά τους στην γλώσσα των μαθηματικών. Ακόμη και οι θεωρητικές επιστήμες χρησιμοποιούν τις μεθόδους της στατιστικής( κλάδου των μαθηματικών). Γι’ αυτό και μαθήματα με βασικά μαθηματικά βρίσκονται στις περισσότερες σχολές.

2) Τα μαθηματικά είναι άκρως συναρπαστικά σαν διανοητική εργασία γιατί όπως λέμε στην καθομιλουμένη “βάζουν το μυαλό να δουλεύει”. Ένας μαθηματικός χαρακτηρίζεται από επιμονή και από αναλυτικές μεθόδους για την επίλυση κάθε προβλήματος. (Βέβαια για να μην παρεξηγηθούμε δεν χαρακτηρίζονται μόνο οι μαθηματικοί από αυτά τα χαρακτηριστικά αλλά αυτό το κείμενο έχει ως στόχο να αναδείξει τα θετικά των μαθηματικών).

3) Το ότι το βιβλίο της Φύσης είναι γραμμένο στην γλώσσα των μαθηματικών το αναλύσαμε στην αρχή και γι’ αυτό δεν θα επεκταθούμε πολύ. Το μόνο που θα πούμε είναι ότι τα μαθηματικά είναι μια παγκόσμια γλώσσα που όλοι ανά την υφήλιο καταλαβαίνουν. Ας πάρουμε για παράδειγμα την το σύμβολο της πρόσθεσης. Σε όποιον και αν το δείξεις στον κόσμο, ότι γλώσσα και αν μιλάει θα καταλάβει περί τίνος πρόκειται. Με την κατάλληλη προετοιμασία και σκληρή δουλειά μπορεί ο καθένας να γίνει κοινωνός αν όχι δύσκολων και αφηρημένων εννοιών, βασικών προτάσεων των μαθηματικών που θα του είναι χρήσιμα. Αν σκεφτούμε ακόμα παρά πέρα ίσως τα μαθηματικά να είναι η γλώσσα επικοινωνίας μας με εξωγήινους πολιτισμούς.

Συμπερασματικά, τα μαθηματικά είναι για τον άνθρωπο και δεν πρέπει να τα αγνοούμε, ούτε να τα αποφεύγουμε.

ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ:

1)The Universal Book of Mathematics From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes,David Darling,WILEY, John Wiley & Sons,Inc., σελ. 199

ΠΗΓΕΣ:

1)The Universal Book of Mathematics From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes,David Darling,WILEY, John Wiley & Sons,Inc.

2)EHRHARD BEHRENDS, Μαθηματικά Πεντάλεπτα, 100 ΜΙΚΡΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Μετάφραση: Μιχάλης Παπανικολάου, Επιμέλεια: Γιάννης Παπαδόγγονας, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

3)Πώς και γιατί μελετάμε μαθηματικά – Μια επιστολή προς μαθητές – ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ (liveyourmaths.com)